סטטיסטיקה עירומה הוא הספר המעניין ביותר על המדע המשעמם ביותר

2024 מְחַבֵּר: Malcolm Clapton | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 03:56

מי אמר שסטטיסטיקה היא מדע משעמם וחסר תועלת? צ'ארלס ווילן טוען בצורה משכנעת שזה רחוק מלהיות המקרה. היום אנו מפרסמים קטע מספרו על איך לזכות במכונית, לא בעז, באמצעות סטטיסטיקה, ומבינים שהאינטואיציה עלולה להטעות אותך.

חידת מונטי הול

תעלומת מונטי הול היא בעיה מפורסמת בתורת ההסתברות שבלבלה את המשתתפים בתוכנית משחק בשם Let's Make a Deal, שעדיין פופולרית במספר מדינות, שהוצגה לראשונה בארצות הברית ב-1963. (אני זוכר שכל פעם שצפיתי בתוכנית הזו בילדותי, כשלא הלכתי לבית הספר עקב מחלה.) בהקדמה לספר כבר ציינתי שתוכנית המשחק הזו יכולה להיות מעניינת עבור סטטיסטיקאים. בסוף כל גיליון שלו, המשתתף שהגיע לגמר עמד עם מונטי הול מול שלוש דלתות גדולות: דלת מס' 1, דלת מס' 2 ודלת מס' 3. מונטי הול הסביר לגמר שמאחורי אחת מבין הדלתות הללו היה פרס יקר מאוד - למשל מכונית חדשה ועז מאחורי השתיים האחרות. הפיינליסט היה צריך לבחור את אחת הדלתות ולקבל את מה שעומד מאחוריה. (אני לא יודע אם היה לפחות אדם אחד בין משתתפי ההצגה שרצה להשיג עז, אבל לשם הפשטות נניח שרובם המוחלט של המשתתפים חלמו על רכב חדש).

קל למדי לקבוע את ההסתברות הראשונית לזכייה. יש שלוש דלתות, שתיים מסתירות עז, והשלישית מחביאה מכונית. כאשר משתתף בתערוכה עומד מול הדלתות הללו עם מונטי הול, יש לו אחת מתוך שלוש הזדמנויות לבחור את הדלת שמאחוריה ממוקמת המכונית. אבל, כפי שצוין לעיל, יש מלכוד ב-Let's Make a Deal שהנציח את תוכנית הטלוויזיה הזו ואת המגיש שלה בספרות על תורת ההסתברות. לאחר שהפיינליסט של המופע מצביע על אחת משלוש הדלתות, מונטי הול פותח את אחת משתי הדלתות הנותרות, שמאחוריה תמיד יש עז. ואז מונטי הול שואל את הפיינליסט אם הוא רוצה לשנות את דעתו, כלומר לנטוש את הדלת הסגורה שנבחרה קודם לכן לטובת דלת סגורה אחרת.

נניח, לשם הדוגמה, שהמשתתף הצביע על דלת מס' 1. ואז מונטי הול פתח את דלת מס' 3, שמאחוריה הסתתרה העז. שתי דלתות, דלת מס' 1 ודלת מס' 2, נשארות סגורות. אם הפרס היקר היה מאחורי דלת מס' 1, הפיינליסט היה זוכה בו, ואם הוא היה מאחורי דלת מס' 2, אז הוא היה מפסיד. בשלב זה מונטי הול שואל את השחקן אם הוא רוצה לשנות את הבחירה הראשונית שלו (במקרה זה, נטוש את דלת מס' 1 לטובת דלת מס' 2). אתה, כמובן, תזכור ששתי הדלתות עדיין סגורות. המידע החדש היחיד שקיבל המשתתף היה שהעז הגיעה בסופו של דבר מאחורי אחת משתי דלתות שלא בחר.

האם הפיינליסט צריך לנטוש את הבחירה הראשונית לטובת דלת מס' 2?

אני עונה: כן, צריך. אם יעמוד בבחירה המקורית, ההסתברות לזכות בפרס יקר ערך תהיה ⅓; אם ישנה את דעתו ויצביע על דלת מס' 2, ההסתברות לזכות בפרס יקר ערך תהיה ⅔. אם אתה לא מאמין לי, המשך לקרוא.

אני מודה שהתשובה הזו רחוקה מלהיות ברורה ממבט ראשון. נראה שבכל אחת משתי הדלתות הנותרות בוחר הגמר, ההסתברות לקבל פרס יקר ערך בשני המקרים היא ⅓. יש שלוש דלתות סגורות. בהתחלה, ההסתברות שפרס יקר ערך מסתתר מאחורי כל אחד מהם היא ⅓. האם ההחלטה של הפיינליסט לשנות את בחירתו לטובת דלת סגורה נוספת משנה משהו?

כמובן, מכיוון שהקאץ' הוא שמונטי הול יודע מה יש מאחורי כל דלת.אם הפיינליסט בוחר בדלת מס' 1 ואכן יש מכונית מאחוריה, מונטי הול יכול לפתוח את דלת מס' 2 או את דלת מס' 3 כדי לחשוף את העז האורבת מאחוריה.

אם הפיינליסט יבחר בדלת 1 והמכונית נמצאת מאחורי דלת 2, מונטי הול יפתח את דלת 3.

אם הפיינליסט מצביע על דלת 1 והמכונית נמצאת מאחורי דלת 3, מונטי הול יפתח את דלת 2.

על ידי שינוי דעתו לאחר שהמגיש פותח את אחת הדלתות, הפיינליסט זוכה ליתרון של בחירת שתי דלתות במקום אחת. אנסה לשכנע אותך בנכונות הניתוח הזה בשלוש דרכים שונות.

הראשון הוא אמפירי. ב-2008 כתב בעל הטור של הניו יורק טיימס ג'ון טיירני על תופעת מונטי הול. לאחר מכן, צוות ההוצאה פיתח תוכנית אינטראקטיבית המאפשרת לך לשחק במשחק הזה ולהחליט באופן עצמאי אם לשנות את הבחירה הראשונית שלך או לא. (התוכנית אף מספקת עיזים קטנות ומכוניות קטנות שמופיעות מאחורי הדלתות.) התוכנית רושמת את הזכיות שלך במקרה שתשנה את הבחירה הראשונית שלך, ובמקרה שאתה לא משוכנע. שילמתי לאחת מהבנות שלי שתשחק במשחק הזה 100 פעמים, ושיניתי את הבחירה המקורית שלה בכל פעם. שילמתי גם לאחיה לשחק את המשחק גם 100 פעמים, תוך שמירה על ההחלטה המקורית בכל פעם. הבת זכתה 72 פעמים; אחיה 33 פעמים. כל מאמץ זכה בשני דולרים.

עדויות מפרקים של המשחק Let's Make a Deal מציגות את אותו דפוס. לדברי לאונרד מלודינוב, מחבר הספר "הליכת השיכור", לאותם פיינליסטים ששינו את בחירתם הראשונית היה סיכוי גבוה פי שניים לנצח מאלה שלא השתכנעו.

ההסבר השני שלי לתופעה זו מבוסס על אינטואיציה. נניח שכללי המשחק השתנו מעט. לדוגמה, המועמד לגמר מתחיל בבחירת אחת משלוש דלתות: דלת מס' 1, דלת מס' 2 ודלת מס' 3, כפי שתוכנן במקור. אולם, אז, לפני פתיחת כל אחת מהדלתות, שמאחוריהן מסתתרת העז, מונטי הול שואל: "האם אתה מסכים לוותר על בחירתך בתמורה לפתיחת שתי הדלתות הנותרות?" לכן, אם בחרת בדלת מס' 1, תוכל לשנות את דעתך לטובת דלת מס' 2 ודלת מס' 3. אם הצבעת תחילה על דלת מס' 3, תוכל לבחור בדלת מס' 1 ובדלת מס' 2. וכן הלאה.

זו לא תהיה החלטה קשה במיוחד עבורך: די ברור שכדאי לוותר על הבחירה הראשונית לטובת שתי הדלתות הנותרות, שכן הדבר מגדיל את סיכויי הזכייה מ-⅓ ל-⅔. הדבר המעניין ביותר הוא שזהו, בעצם, שמונטי הול מציע לכם במשחק אמיתי, לאחר פתיחת הדלת שמאחוריה מתחבא העז. העובדה העקרונית היא שאם הייתה ניתנת לך האפשרות לבחור שתי דלתות, בכל מקרה עז הייתה מסתתרת מאחורי אחת מהן. כאשר מונטי הול פותח את הדלת שמאחוריה העז, ורק אז שואל אותך אם אתה מסכים לשנות את הבחירה הראשונית שלך, זה מגדיל משמעותית את הסיכויים שלך לזכות בפרס יקר ערך! בעצם, מונטי הול אומר לך, "הסיכוי שפרס יקר ערך יסתתר מאחורי אחת משתי הדלתות שלא בחרת בפעם הראשונה הם ⅔, שזה עדיין יותר מ- ⅓!"

אתה יכול לדמיין את זה ככה. נניח שהצבעת על דלת מס' 1. לאחר מכן, מונטי הול נותן לך את ההזדמנות לנטוש את ההחלטה המקורית לטובת דלת מס' 2 ודלת מס' 3. אתה מסכים ויש לך שתי דלתות לרשותך, מה שאומר שיש לך כל סיבה לצפות לזכות בפרס יקר ערך בהסתברות של ⅔, לא ⅓. מה היה קורה אילו ברגע זה מונטי הול היה פותח את דלת 3 - אחת הדלתות "שלך" - והיה עז מאחוריה? האם עובדה זו תערער את בטחונך בהחלטתך? ברור שלא. אם המכונית הייתה מתחבאת מאחורי דלת 3, מונטי הול היה פותח את דלת 2! הוא לא יראה לך כלום.

כאשר המשחק משוחק על פי תרחיש דפוק, מונטי הול באמת נותן לך בחירה בין הדלת שציינת בהתחלה, לבין שתי הדלתות הנותרות, שאחת מהן יכולה להיות מכונית. כאשר מונטי הול פותח את הדלת שמאחוריה מתחבא העז, הוא פשוט עושה לך טובה בכך שהוא מראה לך איזו משתי הדלתות האחרות אינה המכונית. יש לך אותן הסתברויות לנצח בשני התרחישים הבאים.

1. בחירה בדלת מס' 1, ואז הסכמה "לעבור" לדלת מס' 2 ולדלת מס' 3 עוד לפני פתיחת דלת כלשהי.
2. בחירה בדלת מס' 1, ואז הסכמה "לעבור" לדלת מס' 2 לאחר שמונטי הול מראה לך את העז מאחורי דלת מס' 3 (או בחירה בדלת מס' 3 לאחר מונטי הול מראה לך את העז מאחורי דלת מס' 2).

בשני המקרים, נטישת ההחלטה המקורית מעניקה לך את היתרון של שתי דלתות על אחת, וכך תוכל להכפיל את סיכויי הזכייה מ-⅓ ל-⅔.

האפשרות השלישית שלי היא גרסה רדיקלית יותר של אותה אינטואיציה בסיסית. נניח שמונטי הול מבקש ממך לבחור אחת מ-100 דלתות (במקום אחת משלוש). לאחר שתעשה זאת, נגיד על ידי הצבעה על דלת מס' 47, הוא פותח את 98 הדלתות הנותרות, מה שיחשוף את העזים. כעת נותרו רק שתי דלתות סגורות: דלת מס' 47 שלך ועוד אחת, למשל, דלת מס' 61. האם כדאי לוותר על הבחירה הראשונית שלך?

ברור שכן! יש סיכוי של 99 אחוז שהמכונית נמצאת מאחורי אחת הדלתות שלא בחרת בהתחלה. מונטי הול עשה לך את האדיבות על ידי פתיחת 98 מהדלתות האלה, לא הייתה מכונית מאחוריהן. לפיכך, יש רק סיכוי של 1 ל-100 שהבחירה הראשונית שלך (דלת מס' 47) תהיה נכונה. יחד עם זאת, יש סיכוי של 99 מתוך 100 שהבחירה הראשונית שלך הייתה שגויה. אם כן, אז המכונית ממוקמת מאחורי הדלת הנותרת, כלומר דלת מס' 61. אם אתה רוצה לשחק עם הסתברות לזכות 99 פעמים מתוך 100, אז אתה צריך "לעבור" לדלת מס' 61.

בקיצור, אם אי פעם תצטרכו לשחק Let's Make a Deal, בהחלט תצטרכו לחזור על ההחלטה המקורית שלכם כאשר מונטי הול (או מי שיחליף אותו) ייתן לכם בחירה. מסקנה אוניברסלית יותר מהדוגמה הזו היא שהניחושים האינטואיטיביים שלך לגבי הסבירות לאירועים מסוימים יכולים לפעמים להטעות אותך.