הבעיה של המתמטיקאי של ימי הביניים ליאונרדו פיבונאצ'י על ארנבות

2024 מְחַבֵּר: Malcolm Clapton | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 03:56

חשבו איזה צאצאים יתנו זוג בעלי חיים עד תחילת השנה הבאה.

ליאונרדו פיבונאצ'י היה מתמטיקאי מצטיין מימי הביניים. מאמינים שהוא זה שהכניס את הספרות הערביות לשימוש. ב"ספר האבקסיס", יצירה המסבירה ומקדמת חשבון עשרוני, פיבונאצ'י מביא את הבעיה המפורסמת שלו על ארנבות. נסה לפתור את זה.

בתחילת ינואר הונחו זוג ארנבים שזה עתה נולדו (זכר ונקבה) במכלאה, מגודר מכל הצדדים. כמה זוגות של ארנבים הם יפיקו עד תחילת השנה הבאה? יש צורך לקחת בחשבון את התנאים הבאים:

ארנבות מגיעות לבגרות מינית חודשיים לאחר הלידה, כלומר עד תחילת החודש השלישי לחיים.
בתחילת כל חודש, כל זוג בוגר מינית יולד רק זוג אחד.
חיות נולדות תמיד בזוגות "נקבה אחת + זכר אחד".
ארנבים הם בני אלמוות, טורפים לא יכולים לאכול אותם.

בואו נראה איך מספר הארנבים גדל בששת החודשים הראשונים:

חודש 1. זוג אחד של ארנבות צעירות.

חודש 2. עדיין יש זוג מקורי אחד. ארנבים עדיין לא הגיעו לגיל הפוריות.

חודש 3. שני זוגות: המקורי, לאחר שהגיעה לגיל הפוריות + זוג ארנבות צעירות שהיא ילדה.

חודש 4. שלושה זוגות: זוג מקורי אחד + זוג ארנבות שילדה בתחילת החודש + זוג ארנבות שנולדו בחודש השלישי, אך טרם הגיעו לגיל ההתבגרות.

חודש 5. חמישה זוגות: זוג מקורי + זוג אחד שנולד בחודש השלישי והגיע לגיל הפוריות + שני זוגות חדשים שהם הביאו לעולם + זוג אחד שנולד בחודש הרביעי, אך טרם הגיע לבגרות.

חודש 6. שמונה זוגות: חמישה זוגות מהחודש שעבר + שלושה זוגות שזה עתה נולדו. וכו.

כדי להבהיר את זה, הבה נכתוב את הנתונים שהתקבלו לטבלה:

בעיית המתמטיקה של ליאונרדו פיבונאצ'י על ארנבות: פתרון

אם תבחן היטב את הטבלה, תוכל לזהות את הדפוס הבא. בכל פעם שמספר הארנבים שנכחו בחודש ה-n שווה למספר הארנבים בחודש הקודם (n - 1), בסיכום עם מספר הארנבים שזה עתה נולדו. מספרם, בתורו, שווה למספר הכולל של בעלי חיים נכון לחודש (n - 2) (שהיה לפני חודשיים). מכאן אתה יכול לגזור את הנוסחה:

ו = F_{n - 1}+ F_{n - 2}, שבו F - המספר הכולל של זוגות ארנבות בחודש ה-N, F_{n - 1} הוא המספר הכולל של זוגות ארנבות בחודש הקודם, ו-F_{n - 2} - המספר הכולל של זוגות ארנבות לפני חודשיים.

בואו נספור את מספר החיות בחודשים הבאים באמצעותו:

חודש 7. 8 + 5 = 13.

חודש 8. 13 + 8 = 21.

חודש 9. 21 + 13 = 34.

חודש 10. 34 +21 = 55.

חודש 11. 55 + 34 = 89.

חודש 12. 89 + 55 = 144.

חודש 13 (תחילת שנה הבאה). 144 + 89 = 233.

בתחילת החודש ה-13, כלומר בסוף השנה, יהיו לנו 233 זוגות ארנבות. מתוכם 144 יהיו מבוגרים ו-89 צעירים. הרצף המתקבל 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 נקרא מספרי פיבונאצ'י. בו, כל מספר סופי חדש שווה לסכום של שני הקודמים.

הצג תשובה הסתר תשובה