5 בעיות אולימפיאדה במתמטיקה שלא כל מבוגר יכול להתמודד איתן

2024 מְחַבֵּר: Malcolm Clapton | [email protected]. שונה לאחרונה: 2023-12-17 03:56

נסה לפתור משימות ממשחק התחרות בבית הספר "קנגורו" מבלי להנחות.

1. על אגרטלים עם תפוחים ואפרסקים

60 תפוחים ו-60 אפרסקים היו מונחים באגרטלים כך שכל האגרטלים הכילו מספר שווה של תפוחים, אבל כל שני אגרטלים הכילו מספר שונה של אפרסקים. מהו המספר הגדול ביותר של אגרטלים שניתן להשתמש בהם?

בכל האגרטלים 60 תפוחים מחולקים באופן שווה. המשמעות היא שיש לבחור את המספר האפשרי של אגרטלים מתוך המספרים שבהם 60 מתחלק ללא שארית.

ידוע גם שבכל אגרטל חייב להיות מספר שונה של אפרסקים. בואו ננסה לשים את הפירות בכל אגרטל ולהבין מתי יהיו יותר מ-60 מהם. באגרטל הראשון שמים 1 אפרסק, בשני - 2 אפרסקים, בשלישי - 3 אפרסקים וכן הלאה: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66. זה חורג ממספר האפרסקים שיש לנו, אז זה לא יעבוד לסדר אותם ב-11 אגרטלים.

זה אומר שאתה צריך לקחת פחות מונחים (ופחות אגרטלים): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55. זה פחות מ-60. זה אומר שאנחנו יכולים להוסיף את חסרה כמות אפרסקים באגרטל כלשהו: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 15 = 60. הכל מתאים. התשובה היא 10 אגרטלים.

הצג תשובה הסתר תשובה

2. בערך מנות גלידה

בעוד צ'בורשקה אוכלת שתי מנות גלידה, פו הדוב מצליח לאכול חמש מאותן מנות, ובעוד פו הדוב אוכל שלוש מנות, קרלסון אוכל שבע. בעבודה משותפת, צ'בורשקה וקרלסון אכלו 82 מנות. כמה מנות פו הדוב אכל בתקופה זו?

בואו נשים לב לפו הדוב: דרכו מתואמים כל הגיבורים את מהירות אכילת הגלידה. מצא את הכפולה הפחות משותפת של 3 (שבאמצעותו פו הדוב קשור לקרלסון) ו-5 (שבאמצעותו פו הדוב קשור לצ'בורשקה) - 15.

זה אומר שכאשר ויני אוכל 15 מנות גלידה, צ'בורשקה יאכל 2 × 3 = 6 מנות, וקרלסון יאכל 7 × 5 = 35 מנות. בעוד ויני אוכל 15 מנות גלידה, צ'בורשקה וקרלסון הורסים יחד 6 + 35 = 41 מנות. הם יאכלו 82 מנות גלידה באורך כפול, כי 82 ÷ 41 = 2. זה אומר שלפו הדוב יהיה זמן לאכול פי שניים מנות באותו זמן: 15 × 2 = 30.

הצג תשובה הסתר תשובה

3. על גן החיות האוסטרלי

בגן החיות האוסטרלי, 35% מכלל הקנגורואים הם אפורים, ו-13% מכלל חיות גן החיות הן קנגורו, אבל לא אפור. כמה אחוז מכל בעלי החיים בגן החיות הם קנגורו?

תן n להיות המספר הכולל של בעלי החיים בגן החיות, c מספר הקנגורואים האפורים, ו-k המספר של כל הקנגורואים.

35% מסך הקנגורו הם אפורים. בוא נכתוב את זה: 0, 35k = c.

13% מכלל בעלי החיים אינם קנגורו אפור. אנחנו גם כותבים את זה: 0, 13n = k - 0, 35k.

בואו נפשט את הביטוי המתקבל: 0, 13n = 0, 65k; n = 5k; k = 1 / 5n = 20 / 100n = 20%. המשמעות היא שהקנגורו מהווים 20% מכלל בעלי החיים בגן החיות.

הצג תשובה הסתר תשובה

4. על גמדים-שקרנים

יש כמה גמדים בחדר שתמיד משקרים. כולם בגבהים שונים ומשקלים שונים. כל אחד מהם אמר: "כל השאר קלים ממני, וחלקם נמוכים ממני". איזו מהמשפטים א' - ד' נכונה בהכרח?

א.הגמד הכבד ביותר - הנמוך ביותר

ב.הגמד הקל ביותר - הנמוך ביותר

ב.הגמד הכבד ביותר הוא הגבוה ביותר

ד.הגמד הקל ביותר הוא הגבוה ביותר

ה. אין צורך למלא אף אחת מההצהרות א' עד ד'.

עבור הגמד הכבד ביותר, המשפט "כל השאר קלים ממני" נכון, והמשכו - "… ואחד מהם נמוך ממני" - חייב להיות שקר. אז כל שאר הגמדים גבוהים ממנו. "הגמד הכבד ביותר הוא הנמוך ביותר" היא אמירה אמיתית. לגבי כל שאר הגמדים, המשפט "כל השאר קלים ממני" הוא כבר שקר, אז אי אפשר להגיד עליהם כלום.

הצג תשובה הסתר תשובה

5. על המצאת הכובען המטורף

הכובען המטורף יצר שעון מוזר. מחוג הדקות שלהם נייח, והחוגה ומחוג השעות מסתובבים כך שהשעון מראה תמיד את השעה הנכונה. כמה סיבובים ביום עושה מחוג השעות של שעון כזה?

מחוג הדקות ללא תנועה.כדי שהוא יראה את השעה הנכונה, החוגה חייבת לנוע בכיוון ההפוך (נגד כיוון השעון) באותה מהירות שבה מחוג הדקות נע בשעון רגיל, כלומר לבצע סיבוב מלא בשעה, ו-24 סיבובים בשעון רגיל. יום.

מחוג השעות חייב להראות גם את השעה הנכונה. יחד עם החוגה הוא יעשה סיבוב אחד לשעה, כלומר 24 סיבובים ביום. הוא גם הולך לכיוון הרגיל שלו - סיבוב אחד מלא ב-12 שעות ושתי סיבובים מלאים ב-24 שעות בכיוון השעון. לכן, בסופו של דבר, הוא יעשה 24 - 2 = 22 סיבובים ליום.

הצג תשובה הסתר תשובה

הבחירה השתמשה בבעיות מהתחרות המתמטית הבינלאומית-משחק "קנגורו" במשך שנים.